工程數學與地球物理應用

📝 歷屆考古題

• 115年 普考申論題 第一題
  若Gm = d為超定問題（over-determined problems），亦即觀測數據d的維度大於地下模型m的維度，請利用最小平方法（least squares method）推導其估計解m̂的矩…
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• 115年 普考申論題 第一題
  請利用傅立葉熱傳導定律（Fourier's Law of Heat Conduction）與能量守恆原則，推導出此一維熱傳導方程式（如上式）。（5 分）
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• 115年 普考申論題 第一題
  請利用尋求待定係數之思路（推導各階係數c_n與函數導數之關係），透過逐項比較的方法，證明其一般項係數如下：（10 分） c_n = f^{(n)}(a) / n!
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• 115年 普考申論題 第一題
  由於到時T_i與地震定位參數的關係是非線性問題，若給一初始猜測之震源參數為m_0 = [x_0, y_0, z_0, t_0]^T，請利用蓋格法（Geiger's method）將之轉換成到時殘差（Δ…
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• 115年 普考申論題 第二題
  在實際地球物理反演中，如地震波速層析成像（Tomography）或有限斷層滑移分佈反演(Finite-fault inversion)，核矩陣G經常呈現嚴重的病態特徵，為了避免反演時產生估計解的劇烈變…
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• 115年 普考申論題 第二題
  請利用分離變數法（separation of variables）求解此一維熱傳導方程式，並寫出其一般解（general solution）的通式。（10 分）
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• 115年 普考申論題 第二題
  請寫出馬克勞林級數（Maclaurin series）的形式。（5 分）
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• 115年 普考申論題 第二題
  承(一)，將若干個測站的到時殘差與地震定位參數修正量線性方程組改寫成矩陣形式，表示為GΔm = d，其中G稱為核矩陣（kernel matrix），Δm = [Δx, Δy, Δz, Δt]^T為地震…
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• 115年 普考申論題 第三題
  考慮溫度只在垂直方向（z方向）變化，且內部有熱源A（單位體積之產熱率），若地熱場達到穩定狀態（steady-state），即∂T / ∂t = 0，則其熱導方程式為： d^2T / dz^2 = -A…
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• 115年 普考申論題 第三題
  請推導函數f(x) = ln(1 + x)的馬克勞林級數展開式，並明確寫出其級數的一般項（第n項）表達式（不用考慮該級數的收斂區間）。（10 分）
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• 113年 普考申論題 第一題
  繪製圖形顯示質量微分 dM =2π ρ (r)r^2 sinθ dθ dr，其中 ρ (r)為密度，r 為半徑，θ 為質點徑向與地球自轉軸的夾角。（5 分）
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• 113年 普考申論題 第一題
  此應力張量矩陣為何？（5 分）
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• 113年 普考申論題 第二題
  以積分決定地球的質量 M。（5 分）
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• 113年 普考申論題 第二題
  二、熱方程式 ut(x, t) = αuxx(x, t)，其中 α 為熱擴散係數，且為定值。若此熱方程式邊界條件為 u(0, t) = 0 ; u(L, t) = 0 與初始條件為 u(x, 0) =…
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• 113年 普考申論題 第二題
  x 軸旋轉的角度為何，其橫切面的剪切應力將變為零？（10 分）
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• 113年 普考申論題 第三題
  以積分決定地球的轉動慣量或慣性矩（moment of inertia）I=∫ r'^2 dM，其中 r' 為質點（dM）到地球自轉軸的距離。（15 分）
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• 113年 普考申論題 第三題
  當剪切應力為零時，其垂直應力（張應力或壓應力）為何？（10 分）
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• 113年 普考申論題 第五題
  五、複數 A = (1+√3i)/2，若行列式 |[x+A^2, A^2], [A, x+A]| = 0，則未知數 x 為何？（10 分）
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• 110年 普考申論題 第一題
  證明正斷層受到重力滑動的功 W(θ) = 2αte / sin(2θ)。
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• 110年 普考申論題 第一題
  為何建築物固有角頻率為 w = (k/m)1/2？
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• 110年 普考申論題 第二題
  對正斷層滑動的功 W 進行一次微分，以決定斷層滑動的最佳傾角。
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• 110年 普考申論題 第二題
  求建築物水平位移隨時間的變化 x(t)為何？
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• 110年 普考申論題 第三題
  對正斷層滑動的功 W 進行二次微分，以判定上述最佳斷層傾角為最小重力滑動的功所造成。
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• 110年 普考申論題 第三題
  地震場址效應與建築物耐震設計使用的「三相地震反應頻譜」是對位移 x(t)、速度 ẋ(t)、加速度 ẍ(t) 的地震紀錄，進行傅立葉轉換 F{} 的振幅頻譜：D = ||F{x(t)}||, V =…
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• 110年 普考申論題 第三題
  若共振 (w = w0) 時，建築物會有什麼影響？（先建立二階常微分方程式，再得到常微分方程式的齊次解與特解，最後以羅必達（L’Hospitle）法則，求解建築物共振的水平位移變化）
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• 110年 普考申論題 第四題
  若訊號 f (t) 的取樣間距為 ∆t，則其取樣時間 t = n∆t, n = -∞, … , -1, 0, 1, …, ∞。至於取樣定理的奈奎斯特頻率（Nyquist frequency）fN 亦應…
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• 109年 普考申論題 第一題
  求 y³ - xy² + cos xy = 2 在點(0,1)的切線方程式。（10分）
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• 109年 普考申論題 第二題
  求 ∫ [6x² - 15x + 22] / [(x + 3)(x² + 2)²] dx。（10分）
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• 109年 普考申論題 第二題
  二、試求一在xy 平面上通過點(1,1)，且與直線 y = x 垂直正交，並滿足方程式 xy'' + 2y' = 0 之曲線。（15分）
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• 109年 普考申論題 第四題
  四、試求矩陣A之特徵值及特徵向量。（20分） A = [ 2 -2 3 ; -2 -1 6 ; 1 2 0 ]
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• 109年 普考申論題 第五題
  五、試求函數 f(x)之傅立葉級數，假設週期為2π。（20分） f(x) = |x| (-π < x < π)
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• 109年 普考申論題 第六題
  六、試求如下之積分，其中c為單位圓（逆時針）。（10分） ∫_c [sinh z] / [4z² + 1] dz
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• 108年 普考申論題 第一題
  請解下列的初始值問題(Please solve the following initial value problem)。 (20分) xy' + y = 0, y(4) = 6
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• 108年 普考申論題 第二題
  請解下列的線性系統(Please solve the following linear system)。(20分) 8y + 6z = -4 - 2x + 4y - 6z = 18 x + y - z…
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• 108年 普考申論題 第三題
  請找出下列函數的傅利葉級數(Please find the corresponding Fourier series of the following function)。(20分) f(x) = x…
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• 108年 普考申論題 第四題
  請解出下列函數的泰勒級數和收斂半徑(Please find the corresponding Taylor series and associated radius of convergence o…
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• 107年 普考申論題 第一題
  十八世紀（1772 年）德國天文學家波德（Bode）提出了一個經驗式來歸納太陽系行星與太陽之間的距離。下表是當年波德所取得的觀測數據，距離為天文單位（AU）。 | 行星名稱 | 水星 | 金星 |…
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• 107年 普考申論題 第二題
  假設一平面二維位置向量 $r''(t) = \langle e^t, 4e^{2t} \rangle$ 代表一質點之加速度的時間函數，則該質點在 $t = 0$ 時相對座標原點 (0, 0) 的距離為…
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• 107年 普考申論題 第三題
  計算積分值 $\int_{1}^{4.5} \frac{1}{x} dx = ?$ （下列表格可供參考）（10 分） | x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10…
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• 107年 普考申論題 第四題
  令 $a_n = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} k \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx$，求 $a_5 + a_7 = ?$ （20 分）
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• 107年 普考申論題 第五題
  解三次方程式 $8x^3 - 20x^2 - 2x + 5 = 0$ 用正規的代數方法並不容易，實務上可用數值近似法或幾何圖解法。請用任何可行的方法找出所有的零位（過零點）所在區間。精確度不得超過整數…
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• 107年 普考申論題 第七題
  函數 $f(\omega) = \frac{1}{-i\omega\sqrt{2\pi}}(e^{-i\omega} - e^{i\omega})$， $i = \sqrt{-1}$。計算當 $\omega = \frac{\pi}{2}$…
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